1. Кинематическое описание движения

Определение и область: Кинематика — раздел механики, изучающий геометрические и временные аспекты движения без обсуждения причин (сил).

• Система отсчёта: начало, оси, часы, единицы.
• Радиус-вектор: \( \mathbf r(t)=x(t)\mathbf e_x+y(t)\mathbf e_y+z(t)\mathbf e_z\).
• Координаты правой/левой системы; правило правой руки.
• Материальная точка — идеализация.
• Физически и математически бесконечно малые — объяснение различия.
• Ковариантность уравнения — сохранение формы при допустимых преобразованиях.

• Вопрос: Чем отличается физически бесконечно малое от математического?
  Ответ: Математическое — предел; физическое — малая, но конечная величина, пренебрегаемая относительно масштаба задачи.
• Вопрос: Почему выбирают правую систему координат?
  Ответ: Соглашение, упрощает ориентацию триады базисных векторов и смысл векторного произведения.

2. Скорость и ускорение при прямолинейном и криволинейном движении

Для криволинейного движения удобно декомпозировать ускорение на тангенциальную и нормальную составляющие:

Годограф скорости: геометрическая траектория конца вектора скорости в пространстве скоростей — даёт наглядность изменения направления и модуля.

• Выведите формулу радиуса кривизны для плоской функции \(y(x)\): \(R=\dfrac{[1+(y')^2]^{3/2}}{|y''|}\).
• Когда возникает бинормальное ускорение? (При пространственной кривизне, когда кривая не плоская).

3. Первый закон Ньютона (закон инерции)

Формулировка: Если на тело не действуют силы или сумма внешних сил равна нулю, то тело либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Это определяет инерциальную систему отсчёта.

Инерциальные и неинерциальные системы: в неинерциальной системе появляются фиктивные (инерционные) силы, например \( -m\mathbf a_{\text{сист}}\).

• Как отличить истинную силу от фиктивной? — Фиктивные силы исчезнут при переходе в инерциальную систему; истинные силы связаны с взаимодействиями и сохраняют свои проявления везде.
• Связь инерциальной и гравитационной массы? — Экспериментально равны очень точно; это основа принципа эквивалентности (важно в ОТО).

4. Второй закон Ньютона

Формулировка: \( \mathbf F_{\text{net}} = m\mathbf a \). В общем виде \( \mathbf F = \dfrac{d\mathbf p}{dt}\), где \(\mathbf p=m\mathbf v\) (при постоянной массе).

Масса — мера инертности, импульс \(\mathbf p\) — мера движения. В СИ: Ньютон = \(1\ \mathrm{kg\cdot m/s^2}\).

Последняя форма важна для тел с перемяющейся массой.

• Как проверить второй закон экспериментально? — измерить \(a\) при известной \(F\) и \(m\), устранить систематические эффекты (трение).
• Чем инерциальная масса отличается от гравитационной? — концептуально разное понятие; экспериментально равны с очень высокой точностью.

5. Третий закон Ньютона

Формулировка: силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению: \( \mathbf F_{12} = -\mathbf F_{21}\).

Следствие: внутренние силы системы не изменяют суммарный импульс замкнутой системы → сохранение импульса.

Ограничение: при учёте полей (электромагнитное излучение) силы между частицами не обязательно удовлетворяют простейшей форме третьего закона — импульс переносится в поле.

• Пример нарушения третьего закона — электродинамика с учётом поля (поле несёт импульс).
• Как вывести сохранение импульса для системы из третьего закона? — суммирование уравнений движения и парное сокращение внутренних сил.

6. Принцип относительности Галилея. Аддитивность и закон сохранения массы

Галилеевы преобразования: \( \mathbf r' = \mathbf r - \mathbf u t,\ t'=t\). Уравнение \(m\mathbf a=\mathbf F\) инвариантно при этих преобразованиях, т.к. \(\ddot{\mathbf r}'=\ddot{\mathbf r}\).

Принцип Галилея: законы механики одинаковы во всех инерциальных системах. Принцип Эйнштейна расширяет это требование, включая электродинамику и постулат постоянства \(c\).

Аддитивность массы и закон сохранения массы: в классической механике масса системы — сумма масс её частей; масса сохраняется в изолированной системе. В релятивистской физике масса как энергия меняется, и сохраняется энергия как величина.

• Почему Галилеевы преобразования несовместимы с электродинамикой Максвелла? — потому что уравнения Максвелла не сохраняют форму при простом аддитивном преобразовании скоростей; это подтолкнуло к СТО и Лоренцевым преобразованиям.
• Как утверждение аддитивности массы корректируется в релятивистской механике? — масса системы может включать энергию связи; суммарная энергия (включая массу как энергию) сохраняется.

7. Законы трения

Виды трения:

• Сухое трение (Амонтона-Кулона): статическое \(F_{\max}=\mu_s N\), кинетическое \(F=\mu_k N\) (обычно \(\mu_s>\mu_k\)).
• Жидкое трение (вязкость): при малых скоростях \(F\propto v\) (ламинарное), при больших — \(F\propto v^2\) (турбулентное).
• Качение: сопротивление качению обычно малое и связано с деформациями.

• Почему \(\mu_s > \mu_k\)? — из-за необходимости разрушить прочные локальные контакты при старте движения.
• Как учесть сопротивление \(F\sim v^2\)? — уравнение \(m\dot v = F_{\text{пр}} - c v^2\); решается разделением переменных.

8. Импульс силы и изменение импульса. Теорема о движении центра масс

Импульс силы (джерело): \(\mathbf J = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf F\,dt = \Delta \mathbf p\).

Теорема о CM: Суммарный импульс системы \(\mathbf P = M \mathbf V_{CM}\), а движение CM подчиняется \(M \mathbf a_{CM} = \sum \mathbf F_{\text{ext}}\). Это вытекает из суммирования уравнений движения всех точек системы и отмены пар внутренних сил (при выполнении третьего закона).

• Докажите теорему для непрерывного распределения массы (интегрально): \(\mathbf P = \int \rho(\mathbf r)\mathbf v dV\), далее дифференцирование и применение уравнений движения.
• Что такое импульс силы? — интеграл силы по времени; соответствует изменению импульса.

9. Движение тел с переменной массой

Уравнение Мещерского для ракеты (без внешней силы):

Формула Циолковского (классическая):

• Выведите уравнение Мещерского: учесть изменение импульса системы ракета+истёкшее горючее за малый промежуток времени, пренебречь малыми членами второго порядка.
• Почему Циолковский ограничивает межзвёздные полёты? — экспоненциальная зависимость требует огромной массы топлива для больших \(\Delta v\).

10. Работа и кинетическая энергия

Элементарная работа: \(dA = \mathbf F\cdot d\mathbf r\).

Кинетическая энергия материальной точки: \(T=\dfrac12 m v^2\).

Теорема о кинетической энергии:

Релятивистская энергия: \(E=\gamma m c^2\), \(T=(\gamma-1)mc^2\); при \(v\ll c\) даёт классический предел \(T\approx \tfrac12 m v^2\).

• Покажите вывод теоремы работы-энергии: \(dT = m\mathbf v\cdot d\mathbf v = \mathbf F\cdot d\mathbf r\).
• Как из релятивистского выражения получить классическое? — развить \(\gamma\) в ряд при \(v\ll c\): \(\gamma\approx1+\tfrac12 v^2/c^2\).

11. Приведённая масса. Теорема Кёнига

Теорема Кёнига: суммарная кинетическая энергия системы = кинетическая энергия CM + кинетическая энергия движения относительно CM:

Приведённая масса для двух тел:

• Выведите формулу приведённой массы через замену на координаты CM и относительные координаты.
• Применение к твёрдому телу: \(T=\tfrac12 M V_{CM}^2 + \tfrac12 \boldsymbol{\omega}^T I \boldsymbol{\omega}\).

12. Консервативные силы. Потенциальная энергия

Определение: сила \(\mathbf F(\mathbf r)\) консервативна, если работа по замкнутому пути равна нулю; эквивалентно: существует потенциал \(U(\mathbf r)\) такой, что \(\mathbf F = -\nabla U\).

Условия эквивалентности (в односвязной области):

• Работа по любому замкнутому пути равна нулю.
• Существует скалярный потенциал \(U\), \(\mathbf F=-\nabla U\).
• \(\nabla\times\mathbf F=0\) (ротор ноль).

• Приведите пример поля с нулевым ротом, но без глобального потенциала — поле \(\frac{(-y,x,0)}{x^2+y^2}\) в плоскости с удалением начала (мультиобласть).

13. Потенциальная энергия в простейших случаях. Закон сохранения энергии

Примеры потенциалов:

• Однородное поле тяжести: \(U=mgh\).
• Упругая пружина: \(U=\tfrac12 k x^2\).
• Гравитация Ньютона: \(U=-\dfrac{GMm}{r}\).

Закон сохранения энергии: для замкнутой системы под действием консервативных сил суммарная механическая энергия \(E=T+U\) постоянна.

• Условия устойчивости равновесия: \(U'(x_0)=0\), \(U''(x_0)>0\) — устойчиво.
• Определения потенциальной ямы и барьера, финитное/инфинитное движение и понятие точек поворота \(E=U\).

14. Абсолютно неупругий удар. Общефизический закон сохранения энергии

Абсолютно неупругий (совершенно неупругий) удар: тела после удара движутся вместе. Импульс сохраняется, механическая кинетическая энергия частично переходит во внутреннюю (тепло, деформация), но общий закон сохранения энергии (включая внутреннюю) остаётся в силе.

Потеря кинетической энергии:

• Как вычислить потерю кинетической энергии? — см. формулу выше.
• Как измерить изменение внутренней энергии? — по нагреву, деформации и т.д.

15. Абсолютно упругий удар

При абсолютно упругом ударе сохраняются и импульс, и кинетическая энергия.

Формулы для центрального удара (две массы в 1D):

Альтернативный вывод: перейти в систему центра масс, где при упругом ударе относительная скорость меняет знак.

• Продемонстрируйте вывод формул переходом в CM.
• Различия при нецентральном ударе (нормальная и тангенциальная компоненты).

16. Сила и потенциальная энергия

Связь: \(\mathbf F = -\nabla U\). В одномерном случае \(F=-dU/dx\).

Из закона сохранения энергии можно восстановить уравнение движения: для одномерного движения \( \tfrac12 m \dot x^2 + U(x) = E\), откуда \(\dot x = \pm\sqrt{\tfrac{2}{m}(E-U(x))}\) и при дифференцировании — \(m\ddot x = -U'(x)\).

• Почему минус: потому что уменьшение потенциальной энергии соответствует совершённой работе силы.
• Условия устойчивости через второй производной потенциала: \(U''(x_0)>0\) — устойчиво.

17. Момент силы и момент импульса относительно неподвижного начала

Определения:

• Момент силы (торк): \(\boldsymbol\tau = \mathbf r\times\mathbf F\).
• Момент импульса: \(\mathbf L = \mathbf r\times\mathbf p\).

Уравнение моментов для материальной точки:

• Докажите уравнение моментов: \(\dfrac{d}{dt}(\mathbf r\times\mathbf p)=\mathbf r\times\dot{\mathbf p}\) (так как \(\dot{\mathbf r}\times\mathbf p = \mathbf v\times m\mathbf v=0\)).
• Почему внутренние силы не влияют на суммарный момент внешних сил? — при парном противоположном действии их суммарный момент равен нулю (при соответствующих условиях третьего закона).

18. Связь момента импульса с секториальной скоростью. Теорема площадей

Для плоского движения элементарная секторальная площадь за время \(dt\): \(dS = \tfrac12 r^2 d\theta\). Тогда скорость изменения площади:

Это и есть теорема площадей (эквивалент второго закона Кеплера для центрального поля): радиус-вектор описывает равные площади за равные времена.

• Связь с законами Кеплера: второй закон — следствие сохранения момента импульса, первый и третий — вытекают из решения уравнений движения в гравитационном потенциале.